Teoria dos Conjuntos

A teoria dos conjuntos foi desenvolvida por volta do ano 1872 pelo matemático alemão Georg Cantor.



Podemos começar a compreende-la pela seguinte analogia: imagine uma reta, onde todos os números racionais estão representados. Se você procurar nela dois números, sempre haverá um terceiro número entre eles, por exemplo, se observar, entre o 2/4 e o 3/4 existe o 5/8, entre o 5/8 e o 3/4 existe o 11/16 e assim sucessivamente.



Esta reta imaginária iria possuir infinitos números e pareceria completa, porém, nesta reta também podem existir números como por exemplo a raiz de 2, que é um número irracional. sendo assim, para que a reta fosse completa, os irracionais teriam que ser introduzidos neste sistema.



Para poder expecificar e compreender como estes números se organizam, Cantor criou os conjuntos numéricos, organizando números com características semelhantes em grupos.

Diagramas de Venn

Os diagramas de Venn foram criados pelo lógico inglês John Venn. Ele estava propondo a ideia de representar as relações entre conjuntos através de figuras no plano. Ele dizia que os diagramas serviriam para auxiliar o olho e a mente.

Ao lado Diagramas de Venn

unindo dois e três conjuntos.

Venn também criou um diagrama que unisse quatro conjuntos, mas constatou que quatro circulos não dariam conta, então optou pela elipse.

Diagramas de Venn.

Curiosidades

Curiosidades: Uma visão além da matematíca para os conjuntos.

O Brasil é um conjunto de 26 estados e o distrito federal; cada estado é um conjunto de municípios; cada município é um conjunto de distritos; e cada distrito é um conjunto de bairros:

Este pequeno exemplo mostra como os conjuntos estão presentesna nossa vida.

Simbolos

Simbologia Matemática

No mundo Matemático existe uma complexa simbologia que nos auxilia, a realizar cálculos, decifrar problemas, identificar conjuntos, e diversas outras funções. São muitos símbolos, e abaixo podemos ver os usados com maior frequencia:

+ adição. Lê-se como "mais"

- subtração. Lê-se como "menos"

/ divisão. Lê-se como "dividido"

* ou x multiplicação. Lê-se como "multiplicado

= igualdade. Lê-se como "igual a"

N números naturais. N é o conjunto dos números naturais.

Z números inteiros. O conjunto dos números inteiros.

Q números racionais. Q conjunto dos números racionais.

I números irracionais. I conjunto dos números irracionais.

R números reais. R conjunto dos números reais.

C números complexos. C conjuntos dos números complexos.

<> comparação. É menor que, é maior que.

{ , } Chaves. O conjunto de ... {a, b, c} , representa o conjunto de a, b, e c.

Ø Vazio. Significa que o conjunto não tem elementos, é um conjunto vazio.

€ Pertence. Indica relação de pertinencia. Ex: 5 € N, significa que 5 PERTENCE aos naturais.

Existem muito mais símbolos do que os listados, porem este são os mais usados. Podemos encontrar todos os símbolos no site:

http://www.somatematica.com.br/simbolos2.php

Georg Cantor

Georg Cantor

Cantor nasceu em Saint-Petersburg, no dia 3 de Março de 1845, e passou a maior parte da sua vida na Alemanha. Conhecido por ter elaborado a moderna teoria dos conjuntos, que iremos explicar melhor em seguida no blog. Georg Cantor desde pequeno, sempre mostrou gosto pela matemática, seu pai queria que ele se torna-se um arquiteto, uma das profissões mais admiradas na época, porem o Sonho de Cantor era ser um Matemático.

Depois de alguns anos Cantor estava certo de que queria seguir a carreira de Matemático, então escreveu uma carta pedindo aprovação de seu pai, e dois anos depois recebeu permissão para cursar matemática do seu pai.

Cantor doutorou-se em 1867, tendo ficado a leccionar Matemática numa escola privada feminina devido à falta de lugares disponíveis na universidade. Só dois anos depois ingressou na Faculdade da Universidade de Halle, uma instituição de ensino pouco prestigiada.

Nos anos que se seguiram cantor começou a publicar a famosa teoria dos conjuntos, provou que os conjuntos infinitos não têm todos a mesma potência (potência significando "tamanho"). Fez a distinção entre conjuntos numeráveis (ou enumeráveis) (em inglês chamam-se countable - que se podem contar) e conjuntos contínuos (ou não-enumeráveis) (em inglês uncountable - que não se podem contar). Provou que o conjunto dos números racionais Q é (e)numerável, enquanto que o conjunto dos números reais IR é contínuo (logo, maior que o anterior).

Apos criar a Teoria dos conjuntos, Cantor começou a ter crises de depressão, tendo sido internado diversas vezes, ficou na penúria durante a Primeira Guerra Mundial, morrendo num hospital psiquiátrico em Halle.

Principais conjuntos numéricos

Os principais conjuntos numéricos são:





Conjunto dos numeros naturais:

Representado pela letra N, tem nele todos os numeros naturais positivos incluindo o zero (N = {0, 1, 2, 3, 4...}) , se o zero não é incluso deve ser posto um asterisco após o N ( N*={1, 2, 3, 4...}).



Conjunto dos numeros Inteiros:

Represenado pela letra maiúscula Z, é formado pelos números naturai positivos e seus opostos negativos. Z= {...-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4...}.



Conjunto dos números Racionais:

Representado pela letra maiúscula Q. Agrupa os números inteiros, decimais e os decimais infinitos infinitos.



Conjunto dos numeros Irracionais:

O cunjunto dos Irracionais compreende os números representaveis por dízimas infinitas não periódicas.



Conjunto dos números reais:

O conjunto dos números reai é simbolizado pela letra maiúscula R. É formado por todos os números racionais e irracionais.

Definiçao geral de conjuntos

Conjuntos são agrupamentos de determinadas coisas com semelhanças entre si, por exemplo, os conjuntos numericos são formados por números com características semelhantes reunidos. Os conjuntos númericos são sempre representados por letras maiúsculas, sendo eles cinco principais com subconjuntos dentro.





Exemplos de conjuntos:





Letras do alfabeto: L = {a, b, c, d, e, f, g...z} .


Dias da semana: S = {segunda, terça, quarta, quinta, sexta, sábado, domingo}.